Límites laterales.
Objetivo
Con este blog
pretendemos que los/as alumnos/as descubran la belleza de la matemáticas, que
la sepan apreciarla en las formas de la naturaleza, en el arte, en su día a día
etc.
Hasta el momento
hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos
bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas
discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema
continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este
tipo de funciones.
Consideremos la siguiente
representación gráfica de una función 
,
en la que existe una discontinuidad cuando 
:
,
en la que existe una discontinuidad cuando :
 |
notemos
que cuando
 tiende hacia "a"
por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero
cuando tiende hacia "a"
por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1. |
Escribimos 
para
indicar que tiende
hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores
que "a". Similarmente 
indica
que tiende
hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que
"a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos 
y 
.
Estos límites reciben
para
indicar que tiende
hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores
que "a". Similarmente indica
que tiende
hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que
"a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos y .
Estos límites reciben
el nombre de
límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda
es 1.
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todoε > 0 existe δ > 0 tal que si x 
(a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todoε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε
El límite de una función en un punto si existe, es único.
1
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
2
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.
https://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiX6cyKna3JAhVEXD4KHeNsCeYQtwIIGjAA&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DKBDwsA8WEJE&usg=AFQjCNGiua32hP9HctMnwoVQrk7JnoCGuw&sig2=IUY2_DeY2nISuZ6qeHlDLA&bvm=bv.108194040,d.cWw
(a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε . (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε 
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