Diferenciación de funciones por incrementos.
Objetivo
Fomentar la confianza y autonomía de las personas, al buscar
contenido de matemáticas por internet, además de incluir las tic en el fortalecimiento
del conocimiento adquirido en clases.
Diferenciación de funciones reales de varias variables reales
Diferenciación:
Incrementos y diferenciales.
Dada una función z = f(x, y), se llama incremento de la función, cuando x e y se incrementan ∆x e ∆y, a:
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)
y se llama diferencial total a:
dz =
∂z
∂x dx +
∂z
∂y dy = fx(x, y) dx + fy(x, y) dy
Diferencial de una función en un punto
Una función z = f(x, y) es diferenciable en (a, b) si su incremento se puede expresar como:
∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y donde ε1, ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0)
para lo que se debe cumplir que:
lim
(x,y)→(a,b)
|f(x, y) − f(a, b) − fx(a, b)(x − a) − fy(a, b)(y − b)|
p
(x − a)
2 + (y − b)
2
= 0
Condición suficiente de diferenciabilidad:
Si una función y sus primeras derivadas parciales son continuas en un abierto, entonces es diferenciable en el
abierto.
Condiciones necesarias de diferenciabilidad:
Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua y admite derivadas parciales primeras en el
punto.
Uso de la diferencial como aproximación:
Despreciando los términos que tienden a cero, si una función es diferenciable en (a, b) entonces se verifica la
siguiente fórmula para la estimación de errores:
∆z ' fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y cuando ∆x, ∆y ' 0
Sustituyendo los incrementos por su expresi´on, se obtiene la siguiente fórmula de aproximación:
f(x, y) ' f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) cuando (x, y) ' (a, b).
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