Temario Matematicas de Idania 09: 5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

viernes, 27 de noviembre de 2015

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y
los valores mínimos de una función Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo.
El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.

Teorema

Sea f una función con dominio D.

Si

está definida para $x \in ]a,b[$ donde $]a,b[ \subset D$ y si $f'(x_{0})=0$ con $x_{0} \in ]a,b[$ entonces:

a.	$f(x_{0})$ es un valor máximo relativo de f si se cumple que $f''(x_{0})<0$
b.	$f(x_{0})$ es un valor mínimo relativo de f si se cumple que $f''(x_{0})>0$

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.	$f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$ , $x \in ]-4,2[$

Note que la función f no está definida en

La derivada de f está dada por $f'(x)=\displaystyle\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ , $x \neq -1$

Los valores críticos de f se obtienen cuando

. En este caso,

si y solo si

, ó

.

Ahora, la segunda derivada de f es $f''(x)=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^3}$

Vamos a evaluar

y en

a.	; como entonces es un valor mínimo relativo de f.
b.	; como entonces es un valor máximo relativo def.

Gráficamente se tiene en el intervalo

Se tiene que $D_{g} = I \! \! R$

La primera derivada de g está dada por

Como

cuando

y cuando

entonces estos son los valores críticos de g.

La segunda derivada de g es $g''(x)=\displaystyle\frac{5(x-3)}{3\sqrt[3]{x-1}}$

Evaluando

se tiene que

que es mayor que cero, por lo que

es un valor mínimo relativo de g.

Observe que

no puede evaluarse en

pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada.

Analizando $g'(x)=(x-1)^\frac{2}{3} (x-6)$ se obtiene que