Temario Matematicas de Idania 09

RESUMEN

MODULO 1

OBJETIVO: Que el alumno conozca el concepto del limite, comprenda la importancia que tiene este concepto en el cálculo, y adquiera habilidad en el cálculo de los limites mas comunes.

RESUMEN:Saber distinguir todos los tipos de funciones que haya que nos pueden servir para diferentes cosas.

MODULO 2

OBJETIVO: Los alumnos comprenderán los casos especiales de los limites, y aprenderán a calcular el limite de funciones.

RESUMEN: Me gusto este tema porque fue entendible para mi, y desarrollar cada concepto que vaya dando el tema.

MODULO 3

OBJETIVO: Esta unidad se hablo sobre las derivadas, y se me hiso mas complicado aprender derivada, la derivada se puede deducir el costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al ahorro y propensión marginal al consumo.

MODULO 4

OBJETIVO: En esta unidad pude estudiar mi cuaderno para poder diferenciar cada una de las reglas, aprendí a derivar con cada una de las reglas aunque con la que tengo problemas es con los logaritmos.

MODULO 5

OBJETIVO: En esta unidad trato sobre la derivada, fue muy interesante saber como se deriva,todo esto para observar los patrones de las gráficas, esta unidad fue sumamente interesante e importante para mi.

Gracias por su atención !!

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5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

Objetivo

Con este blog pretendemos que los/as alumnos/as descubran la belleza de la matemáticas, que la sepan apreciarla en las formas de la naturaleza, en el arte, en su día a día etc.

La elasticidad de la demanda, también conocida como la elasticidad-precio de la demanda, es un concepto que en economía se utiliza para medir la sensibilidad o capacidad de respuesta de un producto a un cambio en su precio. En principio, la elasticidad de la demanda se define como el cambio porcentual en la cantidad demandada, dividido por el cambio porcentual en el precio. La elasticidad de la demanda puede ser expresada gráficamente a través de una simplificación de curvas de demanda.

Como descubrió el economista francés Auguste Cournot en 1850 (autor de la Loi de debit), la cantidad demandada de un bien (si todo lo demás permanece constante = ceteris paribus) es función de su precio y, por tanto, a menor precio mayor demanda. Alfred Marshall en sus Principios de Economía (1890) desarrolló el tema en forma más detallada.

Esta relación inversa entre precio y cantidad genera un coeficiente negativo, por eso generalmente se toma el valor de la elasticidad en valor absoluto. La elasticidad de la demanda se expresa comoEd y dependiendo de la capacidad de respuesta a los cambios en los precios, la elasticidad de la demanda puede ser elástica (A) o inelástica (B). Cuanto más horizontal sea la curva de demanda, mayor es la elasticidad de la demanda. Del mismo modo, si la curva de demanda es más bien vertical, la elasticidad de la demanda será inelástica al precio. Este es el tema que abordamos como parte de nuestros Conceptos de Economía.

De acuerdo a lo que hemos señalado, la elasticidad precio de la demanda se define de la siguiente manera:

En general, la demanda de un bien es inelástica (o relativamente inelástica) cuando el coeficiente de elasticidad es menor que uno en valor absoluto. Esto indica que las variaciones en el precio tienen un efecto relativamente pequeño en la cantidad demandada del bien. Un producto clásicamente inelástico es la insulina. Las variaciones en el precio de la insulina tiene una variación prácticamente nula en la cantidad demandada. Es decir, es insensible o inelástica al precio.

El concepto de “elasticidad”

Cuando la Elasticidad Precio de la Demanda es mayor que uno, se dice que la demanda de este bien es elástica (o relativamente elástica). Una disminución a la baja en el precio de la carne o el jamón serrano genera un impacto en la cantidad demandada. Por ejemplo, si el precio del jamón disminuye en un 5% y la demanda aumenta en un 10% se obtiene (10% / -5% = -2). La elasticidad es igual a 2, en valor absoluto. Nótese que este es un número sin dimensiones.

Son varios los factores que influyen en el mayor o menor grado de elasticidad de un bien. Por ejemplo, el tipo de necesidades. Si es un producto de primera necesidad, su demanda será más bien inelástica; en cambio si es un producto de lujo su demanda será más elástica, dado que un aumento en el precio alejará a algunos consumidores. También afecta la elasticidad la existencia de bienes sustitutos. Si hay buenos sustitutos, la demanda del bien será elástica y se podrá reemplazar su consumo. Al reves, si hay pocos sustitutos, la demanda tenderá a ser inelástica. Un ejemplo clásico de bienes sustitutos y elasticidad es la mantequilla y la margarina. Si la mantequilla sube mucho de precio se podrá reemplazar por la margarina.

Otro factor que afecta es el período de tiempo. La elasticidad tiende a aumentar en el largo plazoporque los consumidores tienen más tiempo para ajustar su comportamiento y adaptarse a los bienes sustitutos. Frente a otros productos, como por ejemplo el petróleo, el consumidor puede reaccionar rapidamente a un alza y disminuir su consumo, pero con el tiempo se adaptará al nuevo precio y volverá a consumir a los mismos niveles, mostrando así una demanda inelástica. Los cigarrillos son un claro ejemplo.

La elasticidad no es una función lineal

Un elemento importante a tener en cuenta es que la elasticidad de la demanda no es la misma a lo largo de toda la curva de demanda, es decir no es una función lineal. Dependiendo del producto es posible que para precios altos la demanda sea más elástica que para precios bajos, como ilustra la siguiente gráfica:

¿Por qué la elasticidad es más pequeña a precios más bajos? Esto se debe a que los niveles del precio y la cantidad demandada afectan los cambios porcentuales. Para un cambio dado del precio, el cambio porcentual es pequeño a un precio elevado y grande a un precio bajo. De manera similar, para un cambio dado en la cantidad demandada, el cambio porcentual es pequeño para una cantidad grande y grande para una cantidad pequeña. Por esto, para un cambio dado en el precio, cuanto más bajo sea el precio inicial, mayor será el cambio porcentual del precio, menor será el cambio porcentual de la cantidad demandada y menor la elasticidad.

La elasticidad precio de la demanda se puede aplicar a una gran variedad de problemas en los que se busca conocer el cambio esperado en la cantidad demandada dado un cambio contemplado en el precio. Para todo tipo de productos es muy importante conocer lo que pasará con la demanda si suben o bajan los precios. Si la demanda es elástica, una disminución del precio puede reportar muy buenos dividendos al aumentar las ventas en un porcentaje mayor al cambio en el precio. Una de las razones para aplicar impuestos adicionales a productos como el petróleo o los cigarrillos es la inelasticidad que tienen estos bienes en el largo plazo. Las personas asumen el precio más elevado y lo incorporan a su comportamiento. Para estos y otros casos,es fundamental conocer la elasticidad de la demanda.
https://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwi8u-nA_LDJAhWE8z4KHQHjCf4QtwIIGjAA&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DHSPilIJYPmM&usg=AFQjCNE0Gypx8EbxhtOvbfXOT0vcfASlVg&sig2=2fJpq_2r-aVO1gumItPwfw&bvm=bv.108194040,d.cWw

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5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

Objetivo:
Fomentar la confianza y autonomía de las personas, al buscar contenido de matemáticas por internet, además de incluir las tic en el fortalecimiento del conocimiento adquirido en clases.

Solucionar un problema de optimización

Para solucionar cualquier problema del tipo arriba, sigue los pasos a continuación (ya hicimos los primero cuarto en el primer ejemplo):

Por lo general		Ejemplo arriba
1. Identifica las incógnitas.
Estos son usualmente las cantidades que se preguntan en el problema.		x e y

2. Identifica la función objetivo.
Esta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.		A = xy

3. Identifica la rectricciones.
Estas pueden ser ecuaciones que relacionen las variables o desigualdades que expresen limitaciones para los valores de las variables.		5x + 3y = 60 x ≥ 0, y ≥ 0

4. Enuncia el problema de optimización.
Esto será de la forma "Maximizar (or minimizar) la función objetivo sujeto a la o las restricciones."		Maximizar A = xy sujeto a 5x + 3y = 60 x ≥ 0, y ≥ 0

5. Elmina variables adicionales
Si la función objetivo depende de varias variables: Soluciona las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en términos de una variable particular. Sustituya estas expresiones en la función objetivo para expresarla como una función de una sola variable. También sustituya estas expresiones en las restricciones de desigualdad para determinar el dominio de la función objetivo.

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y
los valores mínimos de una función Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo.
El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.

Teorema

Sea f una función con dominio D.

Si

está definida para $x \in ]a,b[$ donde $]a,b[ \subset D$ y si $f'(x_{0})=0$ con $x_{0} \in ]a,b[$ entonces:

a.	$f(x_{0})$ es un valor máximo relativo de f si se cumple que $f''(x_{0})<0$
b.	$f(x_{0})$ es un valor mínimo relativo de f si se cumple que $f''(x_{0})>0$

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.	$f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$ , $x \in ]-4,2[$

Note que la función f no está definida en

La derivada de f está dada por $f'(x)=\displaystyle\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ , $x \neq -1$

Los valores críticos de f se obtienen cuando

. En este caso,

si y solo si

, ó

.

Ahora, la segunda derivada de f es $f''(x)=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^3}$

Vamos a evaluar

y en

a.	; como entonces es un valor mínimo relativo de f.
b.	; como entonces es un valor máximo relativo def.

Gráficamente se tiene en el intervalo

Se tiene que $D_{g} = I \! \! R$

La primera derivada de g está dada por

Como

cuando

y cuando

entonces estos son los valores críticos de g.

La segunda derivada de g es $g''(x)=\displaystyle\frac{5(x-3)}{3\sqrt[3]{x-1}}$

Evaluando

se tiene que

que es mayor que cero, por lo que

es un valor mínimo relativo de g.

Observe que

no puede evaluarse en

pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada.

Analizando $g'(x)=(x-1)^\frac{2}{3} (x-6)$ se obtiene que